在数学学习中，一元二次不等式是常见的题型之一，掌握其解法对于解决实际问题和提高数学思维能力具有重要意义。本文将从基础概念出发，逐步讲解一元二次不等式的求解方法，并通过具体例子进行说明，帮助读者系统理解并熟练运用。
一、什么是“一元二次不等式”？
一元二次不等式是指只含有一个未知数（即“一元”），并且未知数的最高次数为2（即“二次”）的不等式。其一般形式如下：
$$
ax^2 + bx + c > 0 \quad \text{或} \quad ax^2 + bx + c < 0
$$
其中 $ a \neq 0 $，$ a $、$ b $、$ c $ 为常数，且 $ x $ 是未知数。
二、解一元二次不等式的思路
解一元二次不等式的基本思路是：先求出对应的二次方程的根，再根据二次函数图像的开口方向和根的位置来判断不等式的解集。
具体步骤如下：
步骤1：写出不等式的一般形式
例如：
$$
2x^2 - 5x + 3 > 0
$$
步骤2：解对应的二次方程
将不等式中的“>”或“<”替换为“=”，得到对应的二次方程：
$$
2x^2 - 5x + 3 = 0
$$
使用求根公式或因式分解法求解：
- 求根公式：
$$
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
$$
代入 $ a = 2, b = -5, c = 3 $：
$$
x = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{4} = \frac{5 \pm 1}{4}
$$
所以根为：
$$
x_1 = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}, \quad x_2 = \frac{4}{4} = 1
$$
步骤3：画出二次函数的图像（或分析开口方向）
二次函数 $ y = 2x^2 - 5x + 3 $ 的图像是一条抛物线，由于 $ a = 2 > 0 $，所以开口向上。
步骤4：根据图像确定不等式的解集
- 如果原不等式是 $ > 0 $，则取抛物线在 x 轴上方的部分；
- 如果是 $ < 0 $，则取 x 轴下方的部分。
对于本例，$ 2x^2 - 5x + 3 > 0 $，开口向上，两个根为 $ x = 1 $ 和 $ x = \frac{3}{2} $，因此解集为：
$$
x < 1 \quad \text{或} \quad x > \frac{3}{2}
$$
用区间表示为：
$$
(-\infty, 1) \cup \left( \frac{3}{2}, +\infty \right)
$$
三、特殊情况处理
情况1：判别式小于零（无实数根）
若 $ b^2 - 4ac < 0 $，则方程无实数解，此时抛物线与 x 轴没有交点。
- 若 $ a > 0 $，抛物线始终在 x 轴上方，不等式 $ ax^2 + bx + c > 0 $ 的解集为全体实数。
- 若 $ a < 0 $，抛物线始终在 x 轴下方，不等式 $ ax^2 + bx + c < 0 $ 的解集为全体实数。
情况2：判别式等于零（有一个实数根）
若 $ b^2 - 4ac = 0 $，则方程有一个重根，抛物线与 x 轴相切。
- 若 $ a > 0 $，不等式 $ ax^2 + bx + c > 0 $ 的解集为 $ x \neq x_0 $；
- 若 $ a < 0 $，不等式 $ ax^2 + bx + c < 0 $ 的解集为 $ x \neq x_0 $。
四、总结解题步骤
1. 将不等式化为标准形式 $ ax^2 + bx + c > 0 $ 或 $ < 0 $；
2. 解对应的二次方程，求出根；
3. 判断抛物线的开口方向；
4. 根据图像或符号判断不等式的解集；
5. 写出最终结果，可用区间或不等式表示。
五、练习题（附答案）
题目：解不等式 $ x^2 - 4x + 3 < 0 $
解答：
1. 方程 $ x^2 - 4x + 3 = 0 $，因式分解得 $ (x - 1)(x - 3) = 0 $，根为 $ x = 1 $、$ x = 3 $；
2. 开口向上；
3. 不等式为小于 0，取中间部分；
4. 解集为 $ (1, 3) $。
通过以上步骤，我们可以系统地解决一元二次不等式问题。掌握这一方法不仅有助于考试得分，还能增强对函数图像和代数关系的理解。希望本文能帮助你在数学学习中更进一步！
