求导公式

在微积分中，求导是一个基础且关键的操作。以下是几个常用的求导公式：

1. 常数的导数

如果 \( f(x) = c \)，其中 \( c \) 是一个常数，则 \( f'(x) = 0 \)。

2. 幂函数的导数

如果 \( f(x) = x^n \)，则 \( f'(x) = nx^{n-1} \)。

3. 指数函数的导数

如果 \( f(x) = e^x \)，则 \( f'(x) = e^x \)；如果 \( f(x) = a^x \)，则 \( f'(x) = a^x \ln(a) \)。

4. 对数函数的导数

如果 \( f(x) = \ln(x) \)，则 \( f'(x) = \frac{1}{x} \)；如果 \( f(x) = \log_a(x) \)，则 \( f'(x) = \frac{1}{x \ln(a)} \)。

5. 三角函数的导数

如果 \( f(x) = \sin(x) \)，则 \( f'(x) = \cos(x) \)；如果 \( f(x) = \cos(x) \)，则 \( f'(x) = -\sin(x) \)。

6. 反三角函数的导数

如果 \( f(x) = \arcsin(x) \)，则 \( f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \)；如果 \( f(x) = \arccos(x) \)，则 \( f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \)。

7. 乘积法则

如果 \( f(x) = u(x)v(x) \)，则 \( f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) \)。

8. 商法则

如果 \( f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} \)，则 \( f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2} \)。

9. 链式法则

如果 \( f(x) = g(h(x)) \)，则 \( f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x) \)。

不定积分公式

不定积分是求导的逆运算，以下是一些常用的不定积分公式：

1. 幂函数的不定积分

如果 \( f(x) = x^n \)，则 \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \)（\( n \neq -1 \)）。

2. 指数函数的不定积分

如果 \( f(x) = e^x \)，则 \( \int e^x dx = e^x + C \)；如果 \( f(x) = a^x \)，则 \( \int a^x dx = \frac{a^x}{\ln(a)} + C \)。

3. 对数函数的不定积分

如果 \( f(x) = \ln(x) \)，则 \( \int \ln(x) dx = x \ln(x) - x + C \)。

4. 三角函数的不定积分

如果 \( f(x) = \sin(x) \)，则 \( \int \sin(x) dx = -\cos(x) + C \)；如果 \( f(x) = \cos(x) \)，则 \( \int \cos(x) dx = \sin(x) + C \)。

5. 反三角函数的不定积分

如果 \( f(x) = \arcsin(x) \)，则 \( \int \arcsin(x) dx = x \arcsin(x) + \sqrt{1-x^2} + C \)。

6. 分部积分法

如果 \( f(x) = u(x)v(x) \)，则 \( \int u(x)v'(x) dx = u(x)v(x) - \int u'(x)v(x) dx \)。

以上就是高等数学中大一学生需要掌握的一些基本的求导公式和不定积分公式。希望这些内容能够帮助大家更好地理解和应用这些数学工具。数学的学习是一个不断积累和实践的过程，希望大家能够在学习过程中找到乐趣，并取得进步！